浅析波动率的均值回复特征

摘要 许多研究表明，金融时间序列往往围绕一个固定的值上下波动，较高的收益后面经常跟随着较低的收益，也就是说价格序列具有均值回复的趋势，这一现象称作均值回复(mean reversion)。均值回复现象存在于股票、汇率、利率等金融数据中，它反映了价格序列的内在均衡机制。

　　许多研究表明，金融时间序列往往围绕一个固定的值上下波动，较高的收益后面经常跟随着较低的收益，也就是说价格序列具有均值回复的趋势，这一现象称作均值回复(mean reversion)。均值回复现象存在于股票、汇率、利率等金融数据中，它反映了价格序列的内在均衡机制。

　　业内和学术界有很多关于股票和指数收益的均值回复研究，但是关于波动率的均值回复的研究还相对较少。本文以VIX为例，对其统计特征和均值回复特征进行分析。

　　VIX指数

　　VIX指数是CBOE发布的波动率指数，是指数期权隐含波动率加权平均后所得之指数，又称为“恐慌指数”。通过对VIX指数的研究，可以提供对市场情绪和走势的研判依据。本文主要利用2003年1月2日到2016年9月21日的VIX指数数据进行实证研究。

　　样本内的VIX走势如图1所示，可以直观地看出，一旦波动率指数偏离均值过远，就会有向均值靠近的走势，这符合均值回复的定义描述，所以可以说，VIX可能具有均值回复的特征。

　　图1 VIX走势

　　下面我们利用统计学方法对VIX指数进行检验。

　　VIX均值回复检验

　　时间序列的均值回复的检验方法有很多种，最为常见的是单位根检验和自相关检验，接下来分别利用这两种方法对VIX指数进行均值回复检验。

　　单位根检验

　　这里我们选择Pillips-Perron检验来判断VIX指数序列是否服从单位根过程。建立如下线性方程：VIXt=α+ρVIXt-1+δt+εt。原假设H0∶ρ=1， δ=0，如果检验结果的p值小于设定的显著水平，即拒绝原假设，时间序列不存在单位根，说明时间序列有均值回复的特征。

　　利用Matlab工具箱对VIX指数进行Pillips-Perron检验得到：H=1，p-value<0.01，即拒绝存在单位根的原假设，VIX指数序列不存在单位根，有均值回复的特征。

　　自相关检验

　　如果时间序列的变化率呈显著的负相关性，该时间序列就被认定为存在均值回复特征。

　　对VIX指数收益率进行自相关检验结果如图2，图中横轴表示滞后阶数，纵轴是自相关系数，当图中的箭头线在横线区间之内，说明对应阶数的自相关性不显著，反之，说明对应阶数的自相关性显著。

　　图2 VIX自相关检验

　　可以看出变化指数确实存在一阶滞后负自相关，而且这种负相关性显著，说明自相关检验的方法显示VIX指数具有均值回复的特征。综上，两种检验方法均显示VIX指数具有均值回复的特征。

　　均值回复区间研究

　　在证明了VIX指数确实存在均值回复的特征后，我们可以通过对历史数据的分析寻找一个合适的均值回复区间。接下来，我们大致观察一下VIX指数的分布特征。

　　以21日均线为参考对象，构建如下指标：rarioi=VIXi-MATδT，该指标象征了VIX指数偏移T(T=21)日均线的比例。我们可以假设rarioi>a 的时候，VIX指数就会有向均值回复的趋势。我们以a=2时为例，即rarioi>2时，之后的1—70天的VIX均值的走势，VIX值向均值回归的概率如图4所示。

　　图3 VIX统计特征

　　图4 回归趋势和概率

　　可以看到，一方面VIX确实有下降的趋势，另一方面无论是VIX均值的走势还是VIX值向均值回归的概率都在30日左右和60日左右达到了局部极大(小)值。这可能说明，VIX指数的平均回归周期在30日左右。由于VIX不是对称分布，所以VIX回归区间的上下界是不一样的，我们可以通过观察不同的上下界VIX指数落在回归区间的概率。

　　对于不同ratio阈值下，VIX指数落在MAT-rariodown×δT，MAT+rarioup×δT的概率，如图5所示。

　　如果选择VIX指数90%的概率落在回归区间，结合上述结果，取rariodown=-1.8，rarioup=2.1，较为合适。对于rariodown=-1.8，rarioup=2.1时，VIX指数走势和其上下界的走势，如图6所示。

　　图5 不同上下界情况下，VIX指数落在区间上的概率

　　图6 VIX走势

　　这各区间的确定，可以作为VIX指数衍生品投资的参考，一旦VIX跌出这个区间的下界，我们就可以看多VIX，一旦VIX超过这个区间的上线，我们就可以看空VIX指数。

　　总结

　　本文采用两种方法对VIX的均值回复特征进行检验，两种检验方法均显示VIX指数确实具有均值回复的特征。这个结论可以应用到我们对市场情绪和市场走势的研判中去，VIX指数的均值回复意味着VIX指数不可能长时间处于低位或者高位。这意味着短期内如果VIX指数过高或者过低，都可能蕴含着市场将要变化的信息。此外，本文利用通过历史数据的分析确定了VIX指数的回归区间。

　　需要指出的是，均值回复的理论应用不仅局限在VIX指数走势判断上，均值回复现象在很多金融时间序列中非常常见，例如，通过对股票价格的均值回复进行投资，通过对行业指数均值回复的研究可以制定行业配置的投资策略，通过对市场指数走势的研究进行市场择时等。